圧縮性と体積弾性係数

1.3 流体の基本的性質

1.3.6 圧縮性と体積弾性係数

    例えば、圧力$P$において体積$V$の気体があるとしよう。これに圧力を$\triangle p$だけ加えると、流体の体積は$V+\triangle V$ $(\triangle V<0)$となる。このとき、圧力増加$\triangle p$が$P$に比べて小さければ、体積変化率$-\triangle V/V$は$\triangle p$に比例すると考えられる。この関係を式に表すと、

$\triangle P=-K \dfrac{\triangle V}{V}$

となる。このとき比例係数$K$[Pa]を体積弾性係数と呼ぶ。この逆数を圧縮率という。[1] 圧縮率は計算を安定化させるために数値解析で用いられることもある。

    気体の体積弾性係数は圧縮するときの条件により大きく異なる。温度一定の気体の状態変化（定温変化）では$n=1$において、

$pV=RT=c (cは定数)$

が成り立つ。[1] また、圧縮変化が一瞬で終わるような場合は、周りの気体と熱の交換がないと近似できる。このような変化を断熱変化といい、

$pV^{\gamma}=c (cは定数、\gammaは定圧比熱cpと定積比熱cvの比)$

で表すことができる。$\gamma$は1原子分子の理想気体では5/3、2原子分子の理想気体では7/5になる。[1]

参考文献
[1]: 同志社大学工学部　水島　二郎, 流れ学

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気体の状態方程式

1.3 流体の基本的性質

1.3.5 気体の状態方程式
    通常の気体を考えたときに、ボイルの法則とシャルルの法則が成り立つ。ボイルの法則は温度一定、シャルルの法則は圧力一定の条件で成り立つ。[1] まず、ボイルの法則を考えてみよう。温度が一定のもとでピストン付きのシリンダーに気体の体積$V$が入っていたとする。シリンダーのピストンを押すと内部の気体の体積は減少する。内部温度が一定の時、気体の体積$V$は圧力$P$に反比例し、その積は一定になるはずである。つまり、

$PV=一定$

が成り立ち、これをボイルの法則と呼ぶ。[1]

    シャルルの法則は圧力一定のもとで温度が上昇すると体積も増加する。つまり、気体の体積は絶対温度に比例することになる。式で表せば

$\dfrac{V}{T}=一定$

となる。[1]

図1.3.5.1： ボイルの法則とシャルルの法則

    ボイルの法則とシャルルの法則をまとめて、ボイル・シャルルの法則といい、

$\dfrac{PV}{T}=一定$

となる。[1]

    この法則に従う理想的な気体を理想気体と呼ぶ。すなわち、$n$モルの理想気体の体積を$V$、圧力を$P$、温度を$T$とすれば、

$pV=nRT$

の関係がある。$R$は気体の種類のよらず一定で、その値は$R=8.31$ [$\mathrm{J/mol\cdot K}$]である。[1]

    流れ学では$n$モルの気体を考える代わりに$1\mathrm kg$の気体を考えることが多い。そのときは$1\mathrm kg$当たりの体積、すなわち比体積$v$を用いて、ボイル・シャルルの法則を

$pv=\overline RT$

と表す。ここで、$1\mathrm{kg}$あたりの気体定数$\overline R$ [$\mathrm{J/(kg\cdot K)}$]は物質によって異なる値をとる。ちなみに、空気の気体定数$\overline R$はおおよそ$287$ [$\mathrm{J/(kg\cdot K)}$]となる。[1]

参考文献
[1]: 同志社大学工学部　水島　二郎, 流れ学

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表面張力

1.3 流体の基本的性質

1.3.4 表面張力

    ガラス板の上に水を垂らすと、水滴は球に近づこうとする。また、水を入れた容器に細いガラス管を入れるとガラス管の水面は容器の水面よりも高くなることがある（これを毛細管現象という）。このような現象が起きる要因として流体に引き合う力が働いているためである。この引き合う力を表面張力という。[1]

    毛細管現象を考えてみる。[2]

図1.3.4.1： 毛細管現象

    図1.3.4.1のように液の高さ$h$での表面張力と液体に働く重力の釣り合いを考えると、

$\pi\left(\dfrac r2\right)^2h\rho g=\pi rT\cos\theta$

    となる。ここで、$r$は管の直径、$T$は表面張力、$\theta$は接触角である。

    上記の式の左辺は上昇した水位の質量（$\pi\left(\dfrac r2\right)^2h\rho$ [$\mathrm{kg}$]）と重力（$g$ [$\mathrm{m/s^{2}}$]）を掛けたもの、右辺は単位長さ当たりの表面張力$T$ [$\mathrm{N/m}$]がガラス管一周分（$\pi r$ [$\mathrm{m}$]）にかかっていることを示している。この釣り合いの式から高さ$h$は

$h=\dfrac{4T\cos\theta}{\rho gr}$

    と表される。ガラス管に接するとき接触角が$\theta=0^\circ$なので、水はガラス管の中を上昇する。例えば、$20\ {}^\circ\mathrm{C}$の水の表面張力は$72.8\mathrm{mN/m}$ ($7.28\times10^{-2}\mathrm{N/m}$)、密度を約$1\mathrm{g/cm^{3}}$ ($1000\mathrm{kg/m^{3}}$) とすれば、およそ$3\mathrm{mm}$上昇する。[5] [6] 一方水銀は接触角が$\theta=130^\circ\sim150^\circ$なので、ガラス管の中を下降する。例えば、$20\ {}^\circ\mathrm{C}$の水銀の表面張力は$472\mathrm{mN/m}$ ($0.472\mathrm{N/m}$)、密度を$13.54\mathrm{g/cm^{3}}$ ($13540\mathrm{kg/m^{3}}$)とすれば、およそ$-1.4\mathrm{mm}$下降する。[5] [6]

図1.3.4.2： 水と水銀の毛細管現象の様子

    ではなぜ細いガラス管を挿すとガラス管内部の水位が上昇するのか。

    水が持つポテンシャルエネルギーを$U(h)$とすると、$U(h)$は重力と表面張力との和で示される。$U(h)$が最小の値をもつには、$dU(h)/dh=0$の時であるから、

$\dfrac{dU(h)}{dh}=\pi r^2h\rho g-4\pi rTcos\theta$

となる。左辺は0なので結局、初めに示した釣り合いの式が導かれる。つまり、この式が示す高さ$h$が水の持つポテンシャルエネルギーの最小位置となり、最も安定した位置になるためである。[1]

参考文献
[1]: 同志社大学工学部 水島二郎, 流れ学
[2]: JSMEテキストシリーズ　流体力学
[5]: http://subsites.icu.ac.jp/people/yoshino/SurfaceTension.html：水の特性、表面張力
[6]: http://e.sci.osaka-cu.ac.jp/yoshino/edu/water/chapter08.pdf： 第8章 液体の水 ～表面と界面～

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粘性とせん断応力

1.3 流体の基本的性質

1.3.3 粘性とせん断応力

    図1.3.3.1のような管内の流れを考えてみる。流体の流れを分子レベルで見たときに、分子は壁に衝突したり、その分子が他の分子と衝突したりして運動量が減少する。[3]

図1.3.3.1： 管内の分子同士衝突

   このように分子の運動量の減少により、流体が流動しにくくなる作用を粘性という。[3]

   流動のしにくさは流体の粘り強さと言い換えることもできるだろう。この流体の粘り強さを数値化したのを粘性係数（粘度）という。粘性係数の単位は[$\mathrm{Pa\cdot s}$]である。[1]

   粘性係数に速度勾配の積が粘性力である。粘性力は空間的に一様な運動にする方向に働くため、せん断応力ともいう。[1]

   1枚の平板を過ぎる流れを見てみる。この場合には平板上で流速が$0$、ごく薄い層の外側での流速は$U$である。このような薄い層を境界層と呼ぶ。[1]

図1.3.3.2： 断面$\mathrm{x_1}$における境界層内の速度勾配の様子

   図1.3.3.2である$\mathrm{x=x_1}$での断面を考える。すると速度$\mathrm{u(x_1,y)}$は$\mathrm{x_1}$を固定しているため、速度勾配は$\mathrm{y}$方向のみとなり、$\mathrm{u(y)}$と表せる。この時、平板に働くせん断応力$\boldsymbol\tau$は速度勾配$\dfrac{du}{dy}$に比例して

$\tau=\mu\dfrac{du}{dy}$

    となる。[1]

    ただ、今後流体の運動を調べるときには粘性係数よりも動粘性係数の方が重要になる。動粘性係数$\nu$は粘性係数$\mu$と密度$\rho$の比で表され、

$\nu=\dfrac{\mu}{\rho}$

となる。動粘性係数$\nu$の単位は[$\mathrm{m^{2}/s}$]である。 [4]

    静止した水の中で棒をかきまわす場合考える。静止した水に力を加えるとまずかきまぜた箇所の水が動き出す。動き出した水と周囲の静止した水の間に働く粘性力により、周囲の水も動き出す。つまり、かきまぜることにより流体に与えた力が粘性力によってある速度で周囲へと伝わることを意味する。この周囲への“速度の伝わりやすさ”を示したものが動粘性係数である。[4]

    次に、水とペンキを比較してみる。棒でかき回したときに水はかき混ぜやすく、ペンキはかき混ぜにくい。これは動粘性係数が異なるためである。

    温度と粘性係数の関係を見ると、空気の粘性係数は温度が高くなると大きくなる。一方で水の場合は温度の上昇とともに小さくなる。理由としては空気の場合は分子が自由に運動しており分子間の相互作用が無視できるため、せん断応力は分子の移動に伴う運動量の交換に起因して現れる。つまり温度が上昇すれば運動量の交換がより行われるようになり粘性が上昇する。一方で液体の場合は、分子が引き合う力を常に及ぼしあっており、温度が上昇すると引き合う力が弱くなり粘性が小さくなる。[1][3]

図1.3.3.3： 温度上昇による空気と液体の分子運動のイメージ図

参考文献
[1]: 同志社大学工学部 水島二郎, 流れ学
[3]:  久保田浪之介 他, 今日からモノ知りシリーズ　トコトンやさしい流体力学の本
[4]:  http://camellia.thyme.jp/files/pdf/Viscosity20151120.pdf： 粘性係数と動粘性係数の違い

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応力と圧力

1.3 流体の基本的性質

1.3.2 応力と圧力

    応力とは単位面積あたりに働く力のことである。式で表すと、

$\boldsymbol\tau=\dfrac{\boldsymbol F}S$

    となる。ここで、$\boldsymbol\tau$：応力、${\boldsymbol F}$:面に働く力の大きさ、$S$：面積を示す。応力の単位は式から[$Pa(=\mathrm{N/m^{2}})$]である。[1]

    もう少し正確に説明していく。ある面に働く応力はベクトル量である。たとえば図1.3.2.1のように面内に働く応力を考えたとしよう。

図1.3.2.1： 密度と比体積

    力${\boldsymbol F}$を加えたとき、面に働く応力は面に垂直な方向成分の応力（法線応力${\boldsymbol n}$）と面に平行な方向成分の応力（接線応力${\boldsymbol t}$）に分解することができる。

    このことから力${\boldsymbol F}$は

$\overrightarrow F=F_v\overrightarrow n+F_h\overrightarrow t$

    となり、法線応力$\tau_v$と接線応力$\tau_h$はそれぞれ

$\tau_v=\dfrac{F_v}S$ , $\tau_h=\dfrac{F_h}S$

    と書くことができる。ここで、${\boldsymbol n}$は法線方向の単位ベクトル、${\boldsymbol t}$は接線方向の単位ベクトルを示す。[1]

    静止した流体を考えてみる。流体の面に垂直に働く力は作用・反作用の関係により押し合う力のみである。静止流体中での垂直応力（法線応力）を圧力と呼ぶ。また、静止流体中の面$S$に働く圧力を全圧力と呼ぶ。[1]

    この関係を式にすると、

$p=\dfrac PS$

    となる。ここで、$p$：単位面積当たりの圧力、$P$:全面積の圧力、$S$：面積である。

    静止した流体に関して述べてきたが、流動している場合は、圧力だけでなく接線応力が生じる。接線応力は流体が粘性をもち、流体運動に速度勾配があるときに生じる。粘性については、次節で説明する。[1]

参考文献
[1]: 同志社大学工学部 水島二郎, 流れ学

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密度と比体積

1.3 流体の基本的性質

1.3.1 密度と比体積

    密度とは単位体積あたりに含まれる物質の質量のことをいう。単位は[$\mathrm{kg/m^{3}}$]で表す。逆に比体積とは、単位質量の物質が占める体積のことをいう。式で表すと、

$v=\dfrac1\rho$

となり、つまり密度の逆数[$\mathrm{m^{3}/kg}$]になる。[1]

図1.3.1.1: 密度と比体積

参考文献
[1]: 同志社大学工学部　水島 二郎, 流れ学

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次元

1.2 単位と次元

1.2.2 次元

• 次元

      ◆ 単位としばしば混同される概念である。
      ◆ 物理量$Z$をいくつかの基本的な物理量と組み合わせた際に、物理量$Z$に係る乗数を物理量の次元という。[1]

    ex.1) 物理量$Z$の次元$\left[Z\right]$

$\left[Z\right]=\left[A^\alpha B^\beta C^\gamma \cdots \right]=\left[A\right]^{\alpha} \left[B\right]^{\beta} \left[C\right]^{\gamma} \cdots$

$A_\mathrm{1}=A_\mathrm{2}+A_\mathrm{3}$

             左辺の$A_\mathrm{1}$および右辺の$A_\mathrm{2}$、$A_\mathrm{3}$の次元は互いに等しくなる

             ※物理法則等の式には加減乗除の演算記号が含まれるが、同じ次元量の同士でなければ演算は不可である。各項は同じ次元である必要がある。(=次元の斉次性の原理or同次元の法則)[1]

• 次元解析

      ◆ 物理量同士の関係性について次元を用いて推定する方法。
      ◆ 力学、流体力学で用いられる基本的な物理量は以下の通りである。

質量[$\mathrm{M}$]、長さ[$\mathrm{L}$]、時間[$\mathrm{T}$]

    ex.1) 速度[$\mathrm{v}$]を長さ[$\mathrm{L}$]と時間[$\mathrm{T}$]を用いて表現

$\left[\mathrm{v}\right]=\left[\mathrm{LT}^{-1}\right]=\dfrac{\left[\mathrm{L}\right]}{\left[\mathrm{T}\right]}$

      ◆ 以下に、流体力学で用いられる物理量を基本量で示したものを表で示す。[1]

表1.2.1.4: 基本単位および基本量

物理量	基本単位	基本量
密度：$\rho$	$\mathrm{kg/m^{3}}$	$\left[\rho\right]=\left[\mathrm{ML}^{-3}\right]$
温度：$\theta$	$\mathrm{K}$	$\left[\theta\right]=\left[\mathrm{K}\right]$
圧力：$P$	$\mathrm{N/m^{2}}$	$\left[P\right]=\left[\mathrm{ML}^{-1}\mathrm T^{-1}\right]$
運動量：$L_m$	$\mathrm{kg\cdot m/s}$	$\left[L_m\right]=\left[\mathrm{MLT}^{-1}\right]$
角運動量：$M_m$	$\mathrm{kg\cdot m^{2}/s}$	$\left[M_m\right]=\left[\mathrm{ML}^{2}\mathrm T^{-1}\right]$

• 次元解析の例

       水中に働く浮力式に関して導出してみる。

図1.2.2.1: 水中に働く浮力

       浮力の次元　　$\left[f\right]=\left[\mathrm{MLT}^{-2}\right]$

       浮力は体積$V$[$\mathrm{m^{3}}$]、水の密度$\rho$[$\mathrm{kg/m^{3}}$]、重力加速度$g$[$\mathrm{m/s^{2}}$]で決まる。これらの物理量と浮力の次元の関係性を考える。[1]

$\mathrm{MLT}^{-2}=\rho^{\alpha} g^{\beta} V^{\gamma}$
$\mathrm{MLT}^{-2}=\left(\mathrm{ML}^{-3}\right)^{\alpha} \left(\mathrm{LT}^{-2}\right)^{\beta} \left(\mathrm{L}^{3}\right)^{\gamma}$

       物理量$M$、$L$、$T$の各次元が等しいことから、係数$\alpha$、$\beta$、$\gamma$は以下のように求まる。[1]

$\alpha=1$、$\beta=1$、$\gamma=1$

       上記より以下の式が成立する。

$f=\rho gV$

参考文献
[1]: 同志社大学工学部　水島二郎, 流れ学, pp4-6, 2015年9月26日
[2]: http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Gelmg06/Gem_chap07.pdf, 第7講　電流が磁場から受ける力, pp1
[3]: 島　弘志, 国立単位系(SI)-安心・安全を支える世界共通のものさし, pp20-24, 2007年12月19日, 第1版第1刷発行
[4]: https://www.nmij.jp/library/units/
[5]: https://www.otsukael.jp/weblearn/chapter/learnid/87/page/7/category1id/29
[6]: https://ja.wikipedia.org/wiki/立体角
[7]: https://zukai-kikenbutu.com/buturikagaku/2-mol.html#bussituryou

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