次元

1.2 単位と次元

1.2.2 次元

• 次元

      ◆ 単位としばしば混同される概念である。
      ◆ 物理量$Z$をいくつかの基本的な物理量と組み合わせた際に、物理量$Z$に係る乗数を物理量の次元という。[1]

    ex.1) 物理量$Z$の次元$\left[Z\right]$

$\left[Z\right]=\left[A^\alpha B^\beta C^\gamma \cdots \right]=\left[A\right]^{\alpha} \left[B\right]^{\beta} \left[C\right]^{\gamma} \cdots$

$A_\mathrm{1}=A_\mathrm{2}+A_\mathrm{3}$

             左辺の$A_\mathrm{1}$および右辺の$A_\mathrm{2}$、$A_\mathrm{3}$の次元は互いに等しくなる

             ※物理法則等の式には加減乗除の演算記号が含まれるが、同じ次元量の同士でなければ演算は不可である。各項は同じ次元である必要がある。(=次元の斉次性の原理or同次元の法則)[1]

• 次元解析

      ◆ 物理量同士の関係性について次元を用いて推定する方法。
      ◆ 力学、流体力学で用いられる基本的な物理量は以下の通りである。

質量[$\mathrm{M}$]、長さ[$\mathrm{L}$]、時間[$\mathrm{T}$]

    ex.1) 速度[$\mathrm{v}$]を長さ[$\mathrm{L}$]と時間[$\mathrm{T}$]を用いて表現

$\left[\mathrm{v}\right]=\left[\mathrm{LT}^{-1}\right]=\dfrac{\left[\mathrm{L}\right]}{\left[\mathrm{T}\right]}$

      ◆ 以下に、流体力学で用いられる物理量を基本量で示したものを表で示す。[1]

表1.2.1.4: 基本単位および基本量

物理量	基本単位	基本量
密度：$\rho$	$\mathrm{kg/m^{3}}$	$\left[\rho\right]=\left[\mathrm{ML}^{-3}\right]$
温度：$\theta$	$\mathrm{K}$	$\left[\theta\right]=\left[\mathrm{K}\right]$
圧力：$P$	$\mathrm{N/m^{2}}$	$\left[P\right]=\left[\mathrm{ML}^{-1}\mathrm T^{-1}\right]$
運動量：$L_m$	$\mathrm{kg\cdot m/s}$	$\left[L_m\right]=\left[\mathrm{MLT}^{-1}\right]$
角運動量：$M_m$	$\mathrm{kg\cdot m^{2}/s}$	$\left[M_m\right]=\left[\mathrm{ML}^{2}\mathrm T^{-1}\right]$

• 次元解析の例

       水中に働く浮力式に関して導出してみる。

図1.2.2.1: 水中に働く浮力

       浮力の次元　　$\left[f\right]=\left[\mathrm{MLT}^{-2}\right]$

       浮力は体積$V$[$\mathrm{m^{3}}$]、水の密度$\rho$[$\mathrm{kg/m^{3}}$]、重力加速度$g$[$\mathrm{m/s^{2}}$]で決まる。これらの物理量と浮力の次元の関係性を考える。[1]

$\mathrm{MLT}^{-2}=\rho^{\alpha} g^{\beta} V^{\gamma}$
$\mathrm{MLT}^{-2}=\left(\mathrm{ML}^{-3}\right)^{\alpha} \left(\mathrm{LT}^{-2}\right)^{\beta} \left(\mathrm{L}^{3}\right)^{\gamma}$

       物理量$M$、$L$、$T$の各次元が等しいことから、係数$\alpha$、$\beta$、$\gamma$は以下のように求まる。[1]

$\alpha=1$、$\beta=1$、$\gamma=1$

       上記より以下の式が成立する。

$f=\rho gV$

参考文献
[1]: 同志社大学工学部　水島二郎, 流れ学, pp4-6, 2015年9月26日
[2]: http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Gelmg06/Gem_chap07.pdf, 第7講　電流が磁場から受ける力, pp1
[3]: 島　弘志, 国立単位系(SI)-安心・安全を支える世界共通のものさし, pp20-24, 2007年12月19日, 第1版第1刷発行
[4]: https://www.nmij.jp/library/units/
[5]: https://www.otsukael.jp/weblearn/chapter/learnid/87/page/7/category1id/29
[6]: https://ja.wikipedia.org/wiki/立体角
[7]: https://zukai-kikenbutu.com/buturikagaku/2-mol.html#bussituryou