1.3 流体の基本的性質
1.3.4 表面張力
毛細管現象を考えてみる。[2]
図1.3.4.1： 毛細管現象
図1.3.4.1のように液の高さ$h$での表面張力と液体に働く重力の釣り合いを考えると、
$\pi\left(\dfrac r2\right)^2h\rho g=\pi rT\cos\theta$
となる。ここで、$r$は管の直径、$T$は表面張力、$\theta$は接触角である。
上記の式の左辺は上昇した水位の質量（$\pi\left(\dfrac r2\right)^2h\rho$ [$\mathrm{kg}$]）と重力（$g$ [$\mathrm{m/s^{2}}$]）を掛けたもの、右辺は単位長さ当たりの表面張力$T$ [$\mathrm{N/m}$]がガラス管一周分（$\pi r$ [$\mathrm{m}$]）にかかっていることを示している。この釣り合いの式から高さ$h$は
上記の式の左辺は上昇した水位の質量（$\pi\left(\dfrac r2\right)^2h\rho$ [$\mathrm{kg}$]）と重力（$g$ [$\mathrm{m/s^{2}}$]）を掛けたもの、右辺は単位長さ当たりの表面張力$T$ [$\mathrm{N/m}$]がガラス管一周分（$\pi r$ [$\mathrm{m}$]）にかかっていることを示している。この釣り合いの式から高さ$h$は
$h=\dfrac{4T\cos\theta}{\rho gr}$
と表される。ガラス管に接するとき接触角が$\theta=0^\circ$なので、水はガラス管の中を上昇する。例えば、$20\ {}^\circ\mathrm{C}$の水の表面張力は$72.8\mathrm{mN/m}$ ($7.28\times10^{-2}\mathrm{N/m}$)、密度を約$1\mathrm{g/cm^{3}}$ ($1000\mathrm{kg/m^{3}}$) とすれば、およそ$3\mathrm{mm}$上昇する。[5] [6] 一方水銀は接触角が$\theta=130^\circ\sim150^\circ$なので、ガラス管の中を下降する。例えば、$20\ {}^\circ\mathrm{C}$の水銀の表面張力は$472\mathrm{mN/m}$ ($0.472\mathrm{N/m}$)、密度を$13.54\mathrm{g/cm^{3}}$ ($13540\mathrm{kg/m^{3}}$)とすれば、およそ$-1.4\mathrm{mm}$下降する。[5] [6]
図1.3.4.2： 水と水銀の毛細管現象の様子
ではなぜ細いガラス管を挿すとガラス管内部の水位が上昇するのか。
水が持つポテンシャルエネルギーを$U(h)$とすると、$U(h)$は重力と表面張力との和で示される。$U(h)$が最小の値をもつには、$dU(h)/dh=0$の時であるから、
$\dfrac{dU(h)}{dh}=\pi r^2h\rho g-4\pi rTcos\theta$
となる。左辺は0なので結局、初めに示した釣り合いの式が導かれる。つまり、この式が示す高さ$h$が水の持つポテンシャルエネルギーの最小位置となり、最も安定した位置になるためである。[1]
参考文献
[1]: 同志社大学工学部 水島二郎, 流れ学
[2]: JSMEテキストシリーズ 流体力学
[5]: http://subsites.icu.ac.jp/people/yoshino/SurfaceTension.html：水の特性、表面張力
[6]: http://e.sci.osaka-cu.ac.jp/yoshino/edu/water/chapter08.pdf： 第8章 液体の水 ～表面と界面～
[1]: 同志社大学工学部 水島二郎, 流れ学
[2]: JSMEテキストシリーズ 流体力学
[5]: http://subsites.icu.ac.jp/people/yoshino/SurfaceTension.html：水の特性、表面張力
[6]: http://e.sci.osaka-cu.ac.jp/yoshino/edu/water/chapter08.pdf： 第8章 液体の水 ～表面と界面～